∫ex2dx 也就是 e 的 x 平方的积分，这个不定积分没有初等原函数，不能用普通的多项式、三角函数、指数对数组合写出结果，需要借助虚误差函数 erfi (x) 表达，很多同学做题会把它和 ∫e−x2dx 混淆，后者是经典高斯积分，也是高数、概率论最常考的版本，两者结果差别很大，一定要注意指数上的正负号。之所以无法求出初等原函数，是因为换元、分部积分尝试之后依然无法化简，这是刘维尔定理证明的结论，不是计算方法的问题。如果考试题目没有介绍特殊函数，一般出题本意大概率是带负号的 e−x2，做题时一定要看清楚题目符号。
一 不定积分 ∫ex2dx
公式：
∫ex2dx=2πerfi(x)+C
erfi (x) 叫做虚误差函数，定义：erfi(x)=−ierf(ix)
erf (x) 标准误差函数：erf(x)=π2∫0xe−t2dt
二 高频考点：负号版本 ∫e−x2dx
不定积分：
∫e−x2dx=2πerf(x)+C
经典无穷定积分（高斯积分）：
∫−∞+∞e−x2dx=π
三 定积分重要结论
∫−∞+∞ex2dx 是发散的，因为 x→+∞ 时 ex2 指数快速爆炸增长，积分趋向无穷，不存在有限数值，这点和 e−x2 完全不同，是非常容易踩坑的考点。
四 拓展带系数形式
∫eax2dx=2aπerfi(ax)+C(a>0)
五 为什么换元做不出来
令 u=x2，du=2xdx，dx=2udu
代入得到 21∫ueudu，这个积分依旧是非初等积分，分部积分会循环，得不到初等表达式。
总结：e 的 x 平方的积分，不定积分要用虚误差函数 erfi 表示；无穷定积分发散；带负号的 e 负 x 平方才是经典高斯积分，无穷定积分结果等于√π。
【常见问题】
问题 1 e 的 x 平方的积分能不能写成初等函数？
回答 1 e 的 x 平方的积分不存在初等原函数，不能写成普通初等表达式，标准写法是使用虚误差函数 erfi (x)。
问题 2 e 的 x 平方的积分和 e 负 x 平方积分是不是一样？
回答 1 e 的 x 平方的积分和 e 负 x 平方积分不一样，e 负 x 平方使用 erf 误差函数，无穷定积分等于√π，而 e 的 x 平方无穷定积分发散。
问题 3 e 的 x 平方的积分，普通高数考试会直接考吗？
回答 1 e 的 x 平方的积分一般不会单独要求写出初等原函数，如果考题没有介绍 erfi，大概率是题目本意是 e 负 x 平方，审题一定要留意正负号。
【免责申明】
本内容仅作为高等数学学习参考，特殊函数定义以教材和数学手册标准定义为准。