切割线定理证明完整(切割线定理证明)

申屠雯琦
导读 大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于切割线定理证明完整,切割线定理证明这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、如图所示。2

大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于切割线定理证明完整,切割线定理证明这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、如图所示。

2、已知:由圆O外一点P引圆的一条切线交圆于C,引一条割线交圆于A、B求证:AP·BP=CP2证明连接OC,OP,OB;过O作AB垂线段,垂足为M;圆的半径为r则OC=OM=OB=r(同圆内所有半径都相等)∵CP为⊙O切线(已知)∴OC⊥OP(圆的切线垂直于交点处的半径)∴∠OCP=90°(垂直的定义)则由勾股定理得CP2=OP2-OC2=OP2-r2∵OM⊥AB(由作图得)∴∠OMB=90°(垂直的定义)则由勾股定理得MB2=OB2-OM2=r2-OM2MB=(r2-OM2)1/2由垂径定理得MA=MB=(r2-OM2)1/2∵∠AMB=180°(平角的定义),∠OMB=90°(已证)∴∠OMP=∠AMB-∠OMB=90°则由勾股定理得PM2=OP2-OM2PM=(OP2-OM2)1/2∴AP=PM-MA=(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2BP=PM+MB=(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2则AP·BP=[(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2][(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2]=[(OP2-OM2)1/2]2-[(r2-OM2)1/2]2=(OP2-OM2)-(r2-OM2)=OP2-OM2-r2+OM2=OP2-r2∵CP2=OP2-r2(已证)∴AP·BP=CP2证明完毕。

3、由此得到:从圆外一点P引一条切线交圆于C,引一条割线交圆于B、C,则AP·BP=CP2如图所示已知:由圆O外一点P引圆的一条切线交圆于C,引一条割线交圆于A、B求证:AP·BP=CP2证明连接OC,OP,OB;过O作AB垂线段,垂足为M;圆的半径为r则OC=OM=OB=r(同圆内所有半径都相等)∵CP为⊙O切线(已知)∴OC⊥OP(圆的切线垂直于交点处的半径)∴∠OCP=90°(垂直的定义)则由勾股定理得CP2=OP2-OC2=OP2-r2∵OM⊥AB(由作图得)∴∠OMB=90°(垂直的定义)则由勾股定理得MB2=OB2-OM2=r2-OM2MB=(r2-OM2)1/2由垂径定理得MA=MB=(r2-OM2)1/2∵∠AMB=180°(平角的定义),∠OMB=90°(已证)∴∠OMP=∠AMB-∠OMB=90°则由勾股定理得PM2=OP2-OM2PM=(OP2-OM2)1/2∴AP=PM-MA=(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2BP=PM+MB=(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2则AP·BP=[(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2][(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2]=[(OP2-OM2)1/2]2-[(r2-OM2)1/2]2=(OP2-OM2)-(r2-OM2)=OP2-OM2-r2+OM2=OP2-r2∵CP2=OP2-r2(已证)∴AP·BP=CP2证明完毕。

4、由此得到:从圆外一点P引一条切线交圆于C,引一条割线交圆于B、C,则AP·BP=CP2用相似三角形证明。

5、设过P的直线与圆交于AB,切于C,△APC∽△CPB。

6、设P是圆O外一点,射线PM交圆O于A,B两点,A介于P,B之间。

7、M是AB的中点。

8、射线PC切圆O于点C。

9、求证PA*PB=PC²。

10、证明:因为射线PM交圆O于A,B两点,所以OA=OB=半径。

11、因为M是AB的中点,所以AM=MB,OM⊥PM。

12、所以OA²-OM²=AM²,PO²=PM²+OM²。

13、因为A介于P,B之间,所以PA=PM-AM,PB=PM+MB。

14、因为射线PC切圆O于点C,所以OC=半径=OA,OC⊥PC。

15、所以PC²=PO²-OC²=PM²+OM²-OA²=PM²-AM²=(PM-AM)(PM+AM)=PA(PM+MB)=PA*PB。

16、证明完毕。

17、   以上解答是否满意?有疑问可来信交流。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助。

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